Tpc calculos

      TPC CALCULOS

TITULO LIMETES CONTINUIDADE      

 

                PELO:

Nome: Ramos Ildefonso Belo

                                    FAKULDADE                        :           I.C.T

                                    DEPARTAMENTO    :           TECNICO INFORMATICA

                                    CLASS            E                      :           SEMESTRE I

                                    TURMA                      :           E

               

INSTITUTE OF BUSINESS

(IOB)

2017

Disciplina de Cálculo Diferencial e Integral I
Prof. Salete Souza de Oliveira Buffoni
36
CAPÍTULO 3 - LIMITE E CONTINUIDADE
3.1- Noção Intuitiva
A idéia de limite é fácil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma placa metálica quadrada que se
expande uniformemente porque está sendo aquecida. Se x é o comprimento do lado, a área da placa é dada por
A = x2 . Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quando
x se aproxima de 3, x2 se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos:
lim x2 9
x 3
=
→
onde a notação "x→3" indica x tende a 3 e "lim" significa o limite de.
Generalizando, se f é uma função e a é um número, entende-se a notação
lim f (x) L
x a
=
→
como " o limite de f(x) quando x tende a a é L", isto é, f(x) se aproxima do número L quando x tende a a.
Exemplo 1: Seja , Df { x R / x 2 }.
x 2
x 4
f ( x )
2
= ∈ ≠
−
−
=
Se x 2
( x 2 )
( x 2 )( x 2 )
x 2
x 4
x 2 f ( x )
2
= +
−
− +
=
−
−
≠ → =
∴Se x ≠ 2→f (x) = x + 2
x f(x) x f(x)
1 3 3 5
1,5 3,5 2,5 4,5
1,9 3,9 2,1 4,1
1,99 3,99 2,01 4,01
Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende para 2 é
igual a 4 e podemos escrever: 4
x 2
x 4
lim
2
x 2
=
−
−
→
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação.
lim f ( x ) L
x a
=
→
Na determinação do limite de f(x), quando x tende para a, não interessa como f está definido em a ( nem mesmo se f está
realmente definido). A única coisa que interessa é como f está definido para valores de x na vizinhança de a. De fato
podemos distinguir três casos possíveis como segue:
Suponha que lim f ( x ) L
x a
=
→
. Então exatamente um dos três casos é válido:
Caso 1- f está definido em a e f(a)=L.
Caso 2- f não está definido em a.
Caso 3- f está definido em a e f(a)≠a
L+ε
L-ε
a -δ a a +δ
( )
4
2
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37
3.2- Definição Formal de Limite
Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f (x) tem limite L quando
x tende para a, e se indica por:
lim f ( x ) L
x a
=
→
se e somente se para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ
A função f é definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de a
Exemplos:
Usando a definição de limite, mostre que:
1) lim( 5x 4 ) 9
x 1
+ =
→
5
x 1
5
x 1
5. x 1
5 .( x 1)
5.( x 1)
5x 5
( 5x 4 ) 9
ε
δ
δ
ε
ε
ε
ε
ε
ε
=
− <
− <
− <
− <
− <
− <
+ − <
2) lim ( 3x 1) 5
x 2
+ = −
→−
3
x 2
x ( 2 )
3
x 2
3 .( x 2 )
3.( x 2 )
3x 1 5
3x 1 ( 5 )
ε
δ
δ
δ
ε
ε
ε
ε
ε
=
+ <
− − <
+ <
+ <
+ <
+ + <
+ − − <
⇒ Se f (x) = x → y = x (Função Identidade)
lim x a
x a
=
→
P1
| x-a | < ε → | x-a | < δ
ε = δ
⇒ Se f (x) = k → y = k
lim k k
x a
=
→
P2
3.2.1- Propriedades dos Limites de Funções
Até agora, temos estimado os limites das funções por intuição, com auxílio do gráfico da função, com o uso de
álgebra elementar, ou pelo uso direto da definição de limites em termos de ε e δ. Na prática, entretanto, os limites são
usualmente achados pelo uso de certas propriedades, que vamos estabelecer agora:
Propriedades Básicas de Limites
Suponha que lim f ( x ) L
x a
=
→
e lim g( x ) M
x a
=
→
e k é uma constante
1) lim x a
x a
=
→
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2) lim k k
x a
=
→
3) lim[f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) L M
x a x a x a
± = ± = ±
→ → →
4) lim f ( x ).g( x ) lim f ( x ). lim g( x ) L.M
x a x a x a
= =
→ → →
5) lim c. f ( x ) c. lim f ( x )
x→a x→a
= onde c é uma constante qualquer
6) 


 
= = ≠
→
→
→
→
lim g( x ) 0
M
L
lim g( x )
lim f ( x )
g( x )
f ( x )
lim
x a
x a
x a
x a
7) [ ] n
n
x a
n
x a
L ) x ( f lim ) x ( f lim = 

 
=
→ →
(n é um inteiro positivo qualquer)
8) n
n
x a
n
x a
lim f ( x ) = lim f ( x ) = L
→ →
se L>0 e n é um inteiro positivo, ou se L<=0 e n é um inteiro positivo ímpar
9) ( ) M
lim g( x )
x a
g( x )
x a
lim f ( x ) lim f ( x ) L x a = 

 
= →
→ →
10) lim log f ( x ) log lim f ( x ) logb L
x a
b b
x a
= 

 
=
→ →
11) lim sen( f ( x )) sen lim f ( x ) sen L
x a x a
= 

 
=
→ →
12) lim | f ( x ) | | lim f ( x ) | | L |
x a x a
= =
→ →
13) Se h é uma função tal que h(x)=f(x) é válido para todos os valores de x pertencent6es a algum intervalo ao
redor de a, excluindo o valore de x=a, então
lim h( x ) lim f ( x ) L
x a x a
= =
→ →
Observação: Demonstração das propriedades em sala de aula.
Exercícios:
1)
5x 1
x 2x
lim
2
x 2 −
+
→
9
8
10 1
4 4
5.2 1
2 2.2
5 lim x 1
lim x lim 2x
lim 5x lim1
lim x 2x
lim 5x 1
lim x 2x 2
x 2
x 2
2
x 2
x 2 x 2
2
x 2
x 2
2
x 2 =
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
=
−
+
→
→ →
→ →
→
→
→
2) Seja lim f (x) 4
x 2
=
→
e lim g(x) 3
x 2
=
→
, ache cada limite
a- lim[f ( x ) g( x )]
x 2
+
→
b- lim[f ( x ) g( x )]
x 2
−
→
c- lim f ( x ).g( x )
x→2
3) Avalie cada limite e indique quais das propriedades de 1 a 13
a- [ 2 ]
x 1
lim 5 − 3x − x
→−
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bx
2x
x x 1
lim
2
2
x 2 +
+ +
→
c-
1 2t 8
t 1
lim
2
t 1 / 2 + +
+
→
d-
2x 5
4x 25
lim
2
x 5 / 2 −
−
→
e- ( )
1 x
1 x 1
lim
x 1 −
−
→
3.3- Limites Laterais
Limite à direita:
Seja f uma função definida em um intervalo (a, c) e L um número real, a
afirmação lim f ( x ) L
x a
=
→ +
, significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < x – a < δ
→ a < x < a + δ →
Limite à esquerda:
Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação lim f ( x ) L
x a
=
→ −
, significa que
para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que -δ < x – a < 0 → a-δ < x < a
3.3.1- Teorema
O limite lim f ( x )
x→a
existe e é igual a L se e somente se ambos os limites laterais lim f ( x ) e lim f ( x )
x→a+ x→a−
existem e tem o mesmo valor comum L.
lim f ( x ) L lim f ( x ) lim f ( x ) L
x a x a x a
= ⇔ = =
→ → + → −
Exemplos:
1)

 
<
− ≥
=
x se x 1
2x 1 se x 1
f (x) 2
são iguais limf (x) 1
lim f (x) (1) 1
lim f (x) (2.1 1) 1
limf (x) ?
2 x 1
x 1
x 1
x 1
→ ∴ =



= =
= − =
= →
→
→
→
→
−
+
2)
  
− + ≤
+ >
=
2x 4 se x 2
3x 1 se x 2
f (x)
são diferentes lim f (x) não existe
lim f (x) 0
lim f (x) 7
lim f (x) ?
x 2
x 2
x 2
x 2
→ ∴ =



=
=
= →
→
→
→
→
−
+
Exercícios:
1- Nos problemas de a até c trace o gráfico das funções dadas, ache os limites laterais das funções dadas quando x
tende para a pela direita e pela esquerda e determine o limite da função quando x tende para a ( se o limite existe)
( )
a c
( )
a a+δ
( )
a-δ a
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a) ( ) ;a 3
9 x se x 3
5 x se x 3
f x =
  
− >
+ ≤
=
b) ( ) ;a 1
x se x 1
2 x se x 1
f x 2 =
  
≤
− >
=
c) ( )
2
1
S x = 5+ | 6 x − 3 |,a =
2- Explique porque freqüentemente achamos lim f ( x )
x→a
apenas pelo cálculo do valor de f no ponto a. Dê um exemplo
para mostrar que lim f ( x ) f ( a )
x a
=
→
pode não ocorrer
3.4- Continuidade das Funções
Mencionamos anteriormente que quando o lim f (x) f (a)
x a
=
→
, a função f é contínua em a. De agora em diante
consideraremos isto uma definição oficial.
Definição 1: Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas.
Condições:
∃ f (a)
∃ lim f ( x )
x→a
f ( a ) lim f ( x )
x→a
=
∃ f (a)
a
y
x a
y
x
b = f (a)
c
a
y
x
y
a x
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∴≠



=
=
= ∃ →
∃
−
+
→
→
→ lim f (x) c
lim f (x) b
lim f (x)
f (a) OK!
x a
x a
x a f (a) lim f (x)
lim f (x) OK!
f (a) OK!
x a
x a
→
→
≠
∃
Exercícios:
1) Verificar se

 
+ >
− ≤
=
1 x se x 1
3 x se x 1
f (x)
2
2
é contínua para x = 1 :
i) f (1) = 2 OK!
ii) limf (x) ?
x 1
=
→
São iguais limf (x) 2 OK!
lim f (x) 1 1 2
lim f (x) 3 1 2
x 1
x 1
x 1
∴ =



= + =
= − =
→
→
→
−
+
iii) f (1) limf (x) OK!
x→1
=
Resposta: É contínua
2) Verificar se f ( x ) = x2 − 3 é contínua para x = 0 :
f (0 ) = −3 OK!
lim f ( x ) 3
x 0
= −
→
OK!
f (0 ) lim f ( x )
x→0
≠
Resposta: Como as condições 1 e 3 da definição 1 foram satisfeitas, concluímos que f é contínua em 0
3) Verifique se a função f definida por



= −
≠
+
+ +
=
3 se x 1
se x 1
x 1
2x 3x 1
f ( x )
2
é contínua para o número -1
Observações Importantes: Se os dois limites laterais lim f (x)
x→a−
e lim f (x)
x→a+
existem e têm o mesmo valor, é claro que
lim f (x)
x→a
existe e que todos os três limites têm o mesmo valor. Se lim f (x)
x→a
existe, os dois limites laterais lim f (x)
x→a−
e
lim f (x)
x→a+
existem e todos os três limites são iguais. Consequentemente, se os dois limites lim f (x)
x→a−
e lim f (x)
x→a+
existem, mas têm valores diferentes, então lim f (x)
x→a
não pode existir.
Exercícios
1- Em cada exemplo, (a) trace o gráfico da função, (b) ache os limites laterais da função quando x → a− e quando
x → a+ , (c) determine o limite da função quando x→a (se ele existe) e (d) diga se a função é contínua no valor a
1- ( ) ;a 3
10 x se x 3
2x 1 se x 3
f x =
  
− ≥
+ <
=
2- ( ) ;a 2
1 se x 2
| x 2 | se x 2
f x =
  
=
− ≠
=
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3- ( ) ;a 1
1 x se x 1
3 x se x 1
f x 2
2
=

 
+ >
− ≤
=
3.4.1- Propriedades das Funções Contínuas
Suponha que f e g sejam duas funções contínuas no número a. Então tanto f(a) como g(a) são definidas, e
consequentemente (f+g)(a)=f(a)+g(a) é definida.
1- Se f e g são contínuas em a, então f+g, f-g e f.g também o são.
2- Se f e g são contínuas em a e g(a)≠0, então f/g é contínua em a.
3- Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f ° g é contínua em a.
4- Uma função polinomial é contínua em todos os números.
5- Uma função racional é contínua em todo número no qual está definida.
Exercícios
1- Use as propriedades básicas de função contínua para determinar em quais números as funções dadas são contínuas.
Trace o gráfico das funções.
1- f (x) = x+ | x |
2- f (x) =| x2 |
3- ( )
x 1
2
f x
−
=
3.4.2- Continuidade em um intervalo
Dizer que uma função f é contínua em um intervalo aberto I significa, por definição, que f é contínua em todos
os números no intervalo I. Por exemplo, a função f (x) = 9 − x2 é contínua no intervalo aberto (-3,3)
Da mesma forma, dizer que uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] significa, por definição que f é
contínua no intervalo aberto (a,b) e que satisfaz as seguintes condições de continuidade nos pontos finais a e b:
lim f (x) f (a)
x a
=
→ +
e lim f (x) f (b)
x b
=
→ −
Por exemplo, a função f (x) = 9 − x2 é contínua no intervalo fechado [-3,3]
3.5- Limite de Função Composta
Sejam f e g duas funções tais que Imf C Dg. Nosso objetivo é estudar o limite
lim g( f (x))
x→p
Supondo que lim f (x) a
x p
=
→
é razoável esperar que
lim g(u) lim g(u)
x→p u→a
= sendo u=f(x)
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43
Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que g ou é contínua em a ou não está definida em a. O quadro que
apresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de função composta no cálculo de limites.
lim F(x) ?
x p
=
→
Suponhamos que existam funções g(u) e u=f(x), onde g ou é contínua em a ou não está definida em a, tais que
F(x)=g(u) onde u=f(x), x ∈ Df, lim f (x) a
x p
=
→
(u→a para x→p) e que lim g(u)
u→a
exista. Então
lim F(x) lim g(u)
x→p u→a
=
Exercícios
1- Calcule os limites
a)
x 1
x 1
lim
2
x 1 −
−
→
b)
( )
x 1
3 x 16
lim 3
3 4
x 1 −
− −
→
c)
x 1
x 2 1
lim
3
x 1 +
+ −
→−
d)
x 1
3x 5 2
lim
2
3
x 1 −
+ −
→−
2) Seja f definida em R. Suponha que
( )
1
x
f x
lim
x 0
=
→
. Calcule
a)
( )
x
f 3x
lim
x→0
b) ( )
x
f x
lim
2
x→0
c) ( )
x 1
f x 1
lim
2
x 1 −
−
→
3) Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que
( ) ( )
L
x p
f x f p
lim
x p
=
−
−
→
calcule
a) ( ) ( )
h
f p h f p
lim
h 0
+ −
→
b)
( ) ( )
h
f p 3h f p
lim
h 0
+ −
→
c) ( ) ( )
h
f p h f p
lim
h 0
− −
→
3.6- Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
lim F( x ) F( a )
F( x ) a .x a .x ... a
x a
n
n 1
1
n
0
=
= + + +
→
−
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44
3.7- Limite das Funções Racionais Fracionárias
0
nº
Se Q( a ) 0 e g( a ) 0
0
nº
0
Se Q( a ) 0 e g( a ) 0
g( a )
Q( a )
g( x )
Q( x )
lim
g( x ) b .x b .x ... b
Q( x ) a .x a .x ... a
g( x )
Q( x )
F( x )
x a
m
m 1
1
m
0
n
n 1
1
n
0
∗ ≠ =
=
∗ = ≠
=
= + + +
= + + +
=
→
−
−
a função não está definida para x = a
não existe
g( x )
Q( x )
são diferentes lim
g( x )
Q( x )
lim
g( x )
Q( x )
lim
g( x )
Q( x )
são iguais lim
g( x )
Q( x )
lim
g( x )
Q( x )
lim
Calcule :
0
nº
não existe
0
nº
x a
x a
x a
x a
x a
x a
→ ∴ =
 

 


= ∞
= ±∞
→ ∴ = ±∞
 

 


= ±∞
= ±∞
→



− ∞
+ ∞
=
→
→
→
→
→
→
−
+
−
+
m
Exercícios:
1)
5
7
5
7
4x 9
5x 2
lim
x 1 2
= −
−
=
−
+
→
2) 0
12
0
5x 2
x 4
lim
2
x 2
= =
+
−
→
3) ?
0
10
x 2
5x
lim
x 2
= =
→ −
não existe
0
10
x 2
5x
lim
0
10
x 2
5x
lim
x 2
x 2 → ≠∴
 
 

= = −∞
−
= = +∞
−
→ −
→ +
−
+
4) ?
0
10
( x 2 )
5x
lim
x 2 2
= =
→ −
= +∞
−
→ =∴
 

  

= = +∞
−
= = +∞
−
→
→ +
→ +
−
+
x 2 2
x 2 2
x 2 2
( x 2 )
5x
lim
0
10
( x 2 )
5x
lim
0
10
( x 2 )
5x
lim
a
( )
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45
∗Se Q( x ) = g( x ) = 0
= →
→ 0
0
g( x )
Q( x )
lim
x a
indeterminação ,etc.
∞
∞
=
Exercícios:
1)
0
0
x 2
x 4
lim
2
x 2
=
−
−
→
4
2 2
lim x 2
( x 2 )
( x 2 )( x 2 )
lim
x 2
x 2
=
= +
= +
−
− +
→
→
2)
0
0
( x 3x 2 )
( x 4 )
lim
2
2
x 2
=
− +
−
→
4
( 2 1)
( 2 2 )
( x 1)
( x 2 )
lim
( x 2 )( x 1)
( x 2 )( x 2 )
lim
x 2
x 2
=
−
+
=
−
+
=
− −
− +
→
→
3)
0
0
z 4z 4
z 3z 4z
lim
2
4 3
z 2
=
+ +
+ −
→−
6
( 2 1).( 2)
(z 2)
(z 2) .(z 1).z
lim 2
2
z 2
=
= − − −
+
+ −
→−
4)
0
0
t 1
t 1
lim
3
x 1
=
+
+
→−
3
(( 1) ( 1) 1)
(t 1)
(t 1)(t t 1)
lim
2
2
x 1
=
= − − − +
+
+ − +
→−
(z+2) -2 1 3 0 -4 0
(z-1) 1 1 1 -2 0
1 2 0
z2 + 2z = 0
  
= − → +
= →
z 2 (z 2)
z 0 z
(t+1) 1 1 0 0 1 0
1 -1 1 0
( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )
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46
3.8- Limite das Funções Irracionais
( ) ( )
( ) ( ) ( )
4
2
2
2
2 2
1
2 2
1
x 2 2
1
lim
x 2 2
1
x. x 2 2
x
x. x 2 2
x 2 2
x 2 2
x 2 2
x
x 2 2
0
0
x
x 2 2
lim
x 0
x 0
=
= ⋅
+
=
+ +
+ +
=
+ +
=
+ +
+ −
=
+ +
+ +
⋅
+ −
=
+ −
→
→
Outra maneira:
Substituição de Variável
( )( )
4
2
2 2
1
t 2
1
lim
t 2 t 2
t 2
lim
t 2
t 2
lim
x 0 t 2
x t 2
x 2 t
0
0
x
x 2 2
lim
t 2
t 2
t 2 2
2
2
x 0
=
+
=
+
=
+ −
−
=
−
−
 
 

→ ∴ →
= −
+ =
=
+ −
→
→
→
→
3.9- Limites Envolvendo Infinito
Definições:
1) Dizemos que um elemento c é finito quando c ∈ R e dizemos que c é infinito quando c é um dos símbolos
+∞ ou -∞.
Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por
  
+ ∞
∃ =
→
c
lim f ( x )
x b
. Em caso contrário diremos que não existe o limite e escreveremos
≠



∃ =
→ −
→ +
→ lim f ( x )
lim f ( x )
lim f ( x )
x b
x b
x b
.
2) Seja f definida em um intervalo (c, +∞). A afirmação lim f ( x ) L
x
=
→∞
, significa que a todo ε > 0
corresponde um número positivo N, tal que | f (x) – L | < ε ∀ x > N.
3) Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a, a afirmação f (x) se torna infinita quando x tende para a
que se escreve: = ∞
→
lim f ( x )
x a
, significa que para todo número positivo N, corresponde um δ > 0 / f (x) >
N sempre que 0 < | x – a | < δ.
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47
3.10- Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)



−∞
+∞
=
  


  


+ + +
→∞
−
→∞
lim a x ou
lim a x a x ... a
n
0
x
n
n 1
1
grau mais alto
n
0
x 123
Exercícios
1) lim (5x3 4x2 2x 1)
x
+ − −
→−∞
= −∞
→−∞
3
x
lim 5x
2) lim (5x2 3x 2)
x
+ −
→−∞
= +∞
→−∞
2
x
lim 5x
3.11- Limite das Funções Racionais Fracionárias
0
0
m
0
n
0
x
m
m 1
1
m
0
n
n 1
1
n
0
x
b
a
n m
n m 0
n m ou
Se :
b .x
a .x
lim
b .x b .x ... b
a .x a .x ... a
lim
∗ = ⇒
∗ < ⇒
∗ > ⇒+∞ − ∞
+ + +
+ + +
→∞
−
−
→∞
Exemplos:
1)
2x 6 x 1
5x 4x 2
lim
2
3
x + −
+ −
→−∞
= −∞
→−∞ 2
3
x 2x
5x
lim
2)
x 5x 2
2x 3x 4
lim
3
2
x + +
+ −
→∞
(a-δ) (a+δ)
y
x
a
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48
0
2
x
2x
lim
3
2
x
=
∞
=
→∞
3)
4x 4x 2x x 4
6 x 2x 4
lim
5 4 3
5 3
x + + − −
+ −
→−∞
2
3
4x
6 x
lim
5
5
x
=
→−∞
Indeterminações:
( ) ( ) , 1 , 00 , 0
0
0
, , 0. , , ∞
∞
∞
+ ∞ − + ∞ − ∞ − − ∞ ∞ ∞
3.12- Seqüência e Limite de Seqüência
Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função n a an , a valores reais, cujo domínio é um
subconjunto de N. As seqüências que vão interessar ao curso são aquelas cujo domínio contém um subconjunto do tipo
{n∈ N / n ≥ q} onde q é um natural fixo; só consideraremos tais seqüências.
Exemplos:
1- Seja a seqüência de termo geral n
n a = 2 . Temos
a 2 ,a 2 ,a 22 ,K
2
1
1
0
0 = = =
2- Seja a seqüência de termo geral sn 1 2 3 n = + + +K+ temos
s1 1,s2 1 2,s3 1 2 3 = = + = + + etc.
Sejam m ≤ n dois naturais. O símbolo
Σ=
n
k m
ak
leia: somatório de k a , para k variando de m até n e é usado para indicar a soma dos termos am ,am+1 ,am+2 ,Kan
Definição: Consideremos uma seqüência de termo geral n a e seja a um número real.
Definimos
(i) lim an a
n
=
→+∞
Para todo ε > 0 , existe um natural n0 tal que n > n0 ⇒ a − ε < an < a + ε
(ii) = +∞
→+∞ n
n
lim a Para todo ε > 0 , existe um natural 0 n tal que > ⇒ > ε n n0 an
(iii) = −∞
→+∞ n
n
lim a Para todo ε > 0 , existe um natural 0 n tal que > ⇒ < −ε n n0 an
Se lim an a
n
=
→+∞
, diremos que a seqüência de termo geral an converge para a ou, simplesmente, que an converge para
a e escrevemos an a → . Se = +∞
→+∞ n
n
lim a , diremos que an para +∞ e escrevemos → +∞ an . Observamos que as
definições dadas aqui são exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma função f(x), para
x → +∞ ; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma lim f (x)
n→+∞
aplica-se aqui.
Exercícios
1- Calcule os limites
a-
n 1
2n 3
lim
n +
+
→+∞
b-
3 2
2 1
lim
n
n
n +
+
→+∞
c- Σ=
→+∞



n
k 0
k
n 2
1
lim
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49
2- Supondo que 0<b<1, calcule n
n
lim b
→+∞
3- Suponha a>1. Mostre que = +∞
→+∞
n
n
lim a
4- Considere a seqüência de termo geral Σ=
=
n
k 0
k
sn t , t≠0 e t≠1. Verifique que
1 t
1 t
s
n 1
n −
−
=
+
3.13- Limite das Funções Transcendentais
Exemplos:
1) ( + − − )= ∞ −∞ →
→∞
lim ln( x2 4 ) ln( 2x 1)
x
indeterminação
= ∞
=
−
+
=
 


 


−
+
→∞
→∞
→∞
2x
x
ln lim
2x 1
x 4
ln lim
2x 1
x 4
lim ln
2
x
2
x
2
x
2) = →
→ 0
0
x
sen x
lim
x 0
indeterminação
= =
= →
→
x
sen x
f (x)
1 lim. notável
x
sen x
lim
x 0
3.14- Limites Notáveis
1) 1
u
sen u
lim
u 0
=
→
(1o Limite Fundamental)
Demonstração:



∈ 
=
→
2
t 0,
t
sent
f ( t )
t
sent
lim
t 0
π
2
t
SOQP =
2
sen t
S OQP Δ = 2.cos t
sen t
S OQQ´ Δ =
cos t
t
sen t
1
1 ( inverte se e troca se os sinais )
sen t
t
cos t
1
t sen t (sen t )
cos t
sen t
x( 2 )
2
sen t
2
t
cos t
sen t
2
1
> >
> > − −
> > ÷
∗ > >
0
( )
O
-1
1
M
A
T
P
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50
1
t
sen t
1 lim
lim cos t
t
sen t
lim1 lim
t
sen t
lim
t 0
t 0 t 0 t 0
t 0
> >
> >
∗
→
→ → →
→
1
t
sen t
lim
t 0
=
→
Exemplo:
1)
5x
5. sen 5x
lim
x→0
5.1 5
5x
sen 5x
5.lim
1
x 0
= =
=
=
1→4243
2) lim(1 u ) u e
1
u 0
+ =
→
(2o Limite Fundamental)
Exemplos:
1) lim(1 x ) x e
1
x 0
+ =
→
2) lim(1 tan x ) tan x e
1
x 0
+ =
→
3) x
lim(1 x ) 2
x 0
+
→
2
2
x
1
x 0
e
lim(1 x)
=



=  +
→
x x
k
x 0
lim(1+ x) = e
→
4) 2
1
x
2
1
x 0
lim(1+ x) = e
→
5) ( )
x
1
lim 1 2x
x 0
+
→
( ) 2
y
2
y 0
lim 1 y e
2
y
x
2x y x 0 y 0
= + =
=
= ⇒ → ⇒ →
→
( ) k
x
1
x 0
lim 1+ kx = e
→
3) 1
u
tan u
lim
u 0
=
→
1
cos u
1
lim
u
sen u
lim
u
1
cos u
sen u
lim
1
u 0
1
u 0
u 0
⋅ =
⋅ =
=
→
=
→
→
123 123
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51
4) e
u
1
lim 1
u
u
= 



 +
→∞
* Substituir: y u y 0
u
1 = ⇒ →∞⇒ →
( ) k
y
1
x 0
lim 1+ y = e
→
Exemplos:
k
ku
u
e
u
1
1 lim = 



 +
→∞
k
u
u
e
u
k
1 lim = 



 +
→∞
5
5x
x
e
x
1
1 lim = 



 +
→∞
3
x
x
e
x
3
1 lim = 



 +
→∞
15
5x
x
e
x
3
1 lim = 



 +
→∞
5) ln a
u
a 1
lim
u
u 0
=
−
=
→
* Substituir: a u −1 = y∴a u = y +1
u 0 y 0 u loga (y 1) → ⇒ → = +
[ ]
ln a
log a
log a
1
1
log a
log e
1
log e
1
lim log (1 y) log lim(1 y) log e
log (1 y)
y
1
lim
y
log (1 y)
lim
log (1 y)
y
* lim
e
e e
a e
1
a
1
e
y
1
y 0
a
1
y
1
a
y 0
a
y 0
1
a
y 0 a y 0
=
=
= = =
=
  


  


= +
 


 


= +




+ ⋅ = 



 +
=
+
−
−
=
→
−
→
→
−
→ →
14243
6) 1
u
e 1
lim
u
u 0
=
−
→
7)
( )
log e
u
log 1 u
lim a
u 0
=
+
→
( ) ( ) log e
u
1
* lim log 1 u log lim 1 u a
u 0
u a
1
a
u 0
+ = + =
→ →
8)
( )
1
u
ln 1 u
lim
u 0
=
+
→
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52
Limites Notáveis
1) 1
u
sen u
lim
u 0
=
→
2) lim(1 u) u e
1
u 0
+ =
→
3) 1
u
tan u
lim
u 0
=
→
4) e
u
1
lim 1
u
u
= 



 +
→∞
5) ln a
u
a 1
lim
u
u 0
=
−
=
→
6) 1
u
e 1
lim
u
u 0
=
−
→
7)
( )
log e
u
log 1 u
lim a
u 0
=
+
→
8)
( )
1
u
ln 1 u
lim
u 0
=
+
→
3.15- Assíntotas Horizontais e Verticais
Assíntotas são retas que tangenciam o gráfico de uma função, no infinito, e normalmente são paralelas aos
eixos x e y. Estes próprios eixos podem ser assíntotas.
Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das seguintes
condições:
1) = +∞
→ +
lim f (x)
x a
2) = −∞
→ +
lim f (x)
x a
3) = +∞
→ −
lim f (x)
x a
4) = −∞
→ −
lim f (x)
x a
Assíntota
Vertical
x
y
a
y = f (x)
x = a (A.V.)
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53
Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições abaixo for
verificada:
1) lim f (x) b
x
=
→∞
2) lim f (x) b
x
=
→−∞
Assíntotas verticais envolvem limites infinitos, enquanto que assíntotas horizontais envolvem limites no infinito
Exercícios
1) Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de
x 2
1
f (x)
−
= .
Df = {x∈R / x ≠ 2}
y = f (x)
= −∞
= +∞
= ∈ ≠
−
+
→
→
lim f (x)
lim f (x)
Df {x R / x 0}
x a
x a
x = a (A.V.)
lim f (x) b
x
=
→−∞
y = b (A.H.)
lim f (x) b
x
=
→+∞
y = c (A.H.)
Assíntota
Horizontal
x
y
-∞
-1/2
Assíntota
Vertical
x
y
2
Assíntota
Horizontal
y 0 A.H.
0
x 2
1
lim
0
x 2
1
lim
x 2 A.V.
0
1
x 2
1
lim
0
1
x 2
1
lim
x
x
x 2
x 2
= →
=
−
=
−
= →
= = +∞
−
= = −∞
−
→−∞
→+∞
→ +
→ −
+
−
Para x=0 → y = -1/2
b
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54
2)
x 2
4x
f (x)
−
=
Df {x R / x 0 ou x 2
0
x 2
4x
Df {x R /
= ∈ ≤ >
≥
−
= ∈
3) Dada a função f(x) =
x 5
2x 6
−
−
, achar as assíntotas.
4) Seja y = f(x) =
2x 3
4
−
. Achar as assíntotas.
2
x
y
2
2
x 2
4x
lim
y 2 A.H.
4 2
x 2
4x
lim
x 2
4x
lim
0
8
x 2
4x
lim
x 2
4x
lim
x 2
4x
y
Para x 0 y 0
x
x x
x 2 x 2
=
−
= →
= =
−
=
−
= = +∞
−
=
−
−
=
= → =
→+∞
→−∞ →−∞
→ + → + +